同学们进入高中就会发现，随着学习的深入，数学学习的难度也在不断加大，同学们想要提高自己的学习成绩，首先要提高自己的学习兴趣，其实要养成良好的学习习惯，教师也应在教堂引导学生进行互动学习，以下是高中数学正弦定理余弦定理的应用课件。
教学目的：1 进一步熟悉正、余弦定理内容;
2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化;
3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状;
4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系
教学方法：启发引导式
1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等;
2 引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用
教学过程：一、复习引入：
正弦定理：
余弦定理：
，
二、讲解范例：例1在任一△ABC中求证：
证：左边=
= =0=右边
例2 在△ABC中，已知 ， ，B=45 求A、C及c
解一：由正弦定理得：
∵B=45<90 即b
当A=60时C=75
当A=120时C=15
解二：设c=x由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之： 当 时
从而A=60 ，C=75 当 时同理可求得：A=120 ，C=15
例3 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程 的两个根，且
2cos(A+B)=1 求(1)角C的度数 (2)AB的长度 (3)△ABC的面积
解：(1)cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)= ∴C=120
(2)由题设：
∴AB2=AC2+BC22AC•BC•osC
即AB=
(3)S△ABC=
例4 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长
解：在△ABD中，设BD=x
则
即
整理得： 解之： (舍去)
由余弦定理： ∴
例5 △ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 ;
2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积
解：1设三边 且
∵C为钝角 ∴ 解得
∵ ∴ 或3 但 时不能构成三角形应舍去
当 时
2设夹C角的两边为
S 当 时S最大=
例6 在△ABC中，AB=5，AC=3，D为BC中点，且AD=4，求BC边长
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为x后，建立关于x的方程 而正弦定理涉及到两个角，故不可用 此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用 因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为 ，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程
解：设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD=DC= ，
在△ADB中，cosADB=
在△ADC中，cosADC=
又∠ADB+∠ADC=180°
∴cosADB=cos(180°-∠ADC)=-cosADC
∴
解得，x=2, 所以，BC边长为2
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：
由三角形内角平分线性质可得 ，设BD=5k，DC=3k，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA
三、课堂练习：
1 半径为1的圆内接三角形的面积为0.25，求此三角形三边长的乘积
解：设△ABC三边为a，b，c 则S△ABC=
∴
又 ，其中R为三角形外接圆半径
∴ , ∴abc=4RS△ABC=4×1×0.25=1
所以三角形三边长的乘积为1
评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：
，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式S△ABC= 发生联系，对abc进行整体求解
2 在△ABC中，已知角B=45°，D是BC边上一点，AD=5，AC=7，DC=3，求
AB
解：在△ADC中，
cosC=
又0
在△ABC中， ∴AB=
评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用
3 在△ABC中，已知cosA= ，sinB= ，求cosC的值
解：∵cosA= < =cos45°，0
∵sinB= < =sin30°，0
若B>150°，则B+A>180°与题意不符 ∴0°
∴cos(A+B)=cosA•cosB-sinA•sinB=
又C=180°-(A+B)
∴cosC=cos[180°-(A+B)]=-cos(A+B)=-
评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较
四、小结 通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力
五、课后作业：
课后记： 1 正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA
这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，举例:
[例1]在△ABC中，已知sin2B-sin2C-sin2A= sinAsinC，求B的度数
解：由定理得sin2B=sin2A+sin2C-2sinAsinCcosB，
∴-2sinAsinCcosB= sinAsinC
∵sinAsinC≠0 ∴cosΒ=- ∴B=150°
[例2]求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值
解：原式=sin210°+sin250°+sin10°sin50°
在sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA，令B=10°，C=50°，则A=120°
sin2120°=sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120°
=sin210°+sin250°+sin10°sin50°=( )2=
[例3]在△ABC中，已知2cosBsinC=sinA，试判定△ABC的形状
解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC=sin2A，由定理得sin2A+sin2C-sin2Β=sin2A， ∴sin2C=sin2B∴B=C故△ABC是等腰三角形
2 一题多证:[例4]在△ABC中已知a=2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形
证法一：欲证△ABC为等腰三角形 可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数 由正弦定理得a=
∴2bcosC= ，即2cosC•sinB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
∴sinBcosC-cosBsinC=0 即sin(B-C)=0，∴B-C=nπ(n∈Z)
∵B、C是三角形的内角，∴B=C，即三角形为等腰三角形
证法二：根据射影定理，有a=bcosC+ccosB，
又∵a=2bcosC∴2bcosC=bcosC+ccosB∴bcosC=ccosB，即
又∵ ∴ 即tanB=tanC
∵B、C在△ABC中，∴B=C∴△ABC为等腰三角形
证法三：∵cosC= ∴
化简后得b2=c2 ∴b=c ∴△ABC是等腰三角形
以上是高中数学正弦定理余弦定理的应用课件的基本内容，供各位老师借鉴，在平时的教学活动中，教师学会调节课堂气氛，培养学习的学习兴趣。
